| mai 2002 LE PETIT COURS D’AUTO-DÉFENSE INTELLECTUELLE 4ième PARTIE: QUELQUES NOTIONS DE MATHÉMATIQUES | |
| H.G. Wells, le célèbre auteur de tant de romans de science fiction, a prédit dans la première moitié du XXe siècle que la connaissance des statistiques deviendrait un jour aussi nécessaire à l'exercice de la citoyenneté que le fait de savoir lire et écrire. Cette prédiction s'est réalisée et ce moment est venu: les statistiques et les probabilités sont désormais d'indispensables outils citoyens. | |
Partie I
– Partie II
– Partie III
– Partie V
| Depuis la rédaction de ce texte, Normand Baillargeon a
étendu et approfondi sa réflexion sur la question, et il en est issu un livre du même nom
que celui de cette série, publié (au Canada) par Lux Éditeur (anciennement Comeau & Nadeau).
Vous trouverez toutes les références pour vous le procurer en cliquant sur ce lien. Pour l'avoir lu, je ne puis que vous conseiller vivement la
lecture de ce petit vademecum de la pensée critique. Remarquez, si j'héberge déjà ces
chroniques, c'est que j'ai par avance une convergence de pensée avec l'auteur… | Ce texte a aussi été mis à disposition dans une version PDF par Yves Combe, mais son site étant désormais indisponible je l'ai mis en ligne sur ce site même. (Nul copinage dans mon propos, je crois bon de spécifier que cet accueil des textes de Baillargeon n'est pas «de complaisance»: je ne le connais que comme auteur, j'ai apprécié ses articles, seule la disparition du site "AO !", et par contrecoup l'indisponibilité des chroniques de Normand sur lez Net, qui m'a incité à les mettre en ligne, pour qu'elles demeurent accessibles aux internautes). |
Les mathématiques sont un puissant et indispensable outil d'autodéfense intellectuelle.
Je ne prétends évidemment pas vous transmettre ici toutes ces notions de mathématiques que chaque citoyenne, chaque citoyen devrait avoir posséder pour exercer son autodéfense intellectuelle:la matière est bien trop abondante et à vrai dire c'est l'école qui devrait s'être chargé de vous transmettre ces connaissances. Plus modestement, je vais plutôt montrer: d'une part que vous possédez déjà certains outils extrêmement efficaces à condition de s'en servir, c'est-à-dire de faire preuve d'esprit critique - vous avez tout intérêt à toujours penser à votre cerveau comme à un territoire occupé; d'autre part, vous donner quelques notions de mathématiques qui nous semblent particulièrement utiles - mais je le ferai sans technicalités, étant admis que les choses peuvent vite devenir hautement complexes sur ce sujet.
De simples notions d'arithmétique - savoir additionner, diviser, multiplier, soustraire - bref: ces notions élémentaires que tout le monde possède - suffisent parfois pour ne pas s'en laisser conter. Mais il faut évidemment penser à les appliquer lorsque quelque chose de chiffré est affirmé.
Voici un premier exemple. Un universitaire déclarait un jour devant moi et un auditoire d'intellectuels que 2000 enfants irakiens mouraient à chaque heure depuis dix ans à cause de l'embargo américano-britanique contre ce pays. Vous avez peut-être déjà entendu la même chose, qui est souvent répétée. Certes cet embargo est immonde et il constitue un crime sans nom. Mais servons- nous de l'arithmétique: 2000 enfants à l'heure, vous fera facilement le calcul, cela fait 17 520 000 enfants par an; depuis dix ans; et cela dans un pays qui compte 20 millions d'habitants.
Voici un autre exemple ? Joel Best, auteur d'un superbe ouvrage sur les statistiques , raconte qu'il assiste en 1995 à une soutenance de thèse durant laquelle le candidat invoque le fait que depuis 1950 le nombre de jeunes tués ou blessés par armes à feu, aux Etats-Unis, double à chaque année. Une référence à une revue savante est citée à l'appui de ce fait. Chacun sait que les États-Unis ont un grave problème avec les armes à feu. Mais, encore une fois avec pour seul outil l'arithmétique, réfléchissons un peu à ce qui est avancé ici.
Posons généreusement qu'un seul enfant a été tué par balle en 1950. On aura donc, selon ce qui est affirmé, 2 enfants morts en 1951, puis 4 en 1952, 8 en 1953... Si vous poursuivez, vous arriverez en 1965 à 32 768 morts , ce qui est très certainement bien plus que le nombre total de morts par homicides (enfants aussi bien qu'adultes) aux États-Unis durant toute l'année 1965. En 1980, on aurait en gros un milliard d'enfants tués, soit plus de quatre fois la population du pays. En 1987, le nombre d'enfant morts par armes à feu aux États-Unis dépasserait ce qui constitue, selon les meilleures estimations disponibles, le nombre total d'êtres humains qui ont vécu sur la terre depuis que notre espèce y est apparue! En 1995, le nombre auquel on aboutit est si énorme qu'on ne rencontre de pareils chiffres qu'en astronomie ou en économie.
Devant des chiffres, il est toujours pertinent de se demander qui les a produits et dans quel but. Car il peut fort bien arriver que les données qu'on nous présente occultent une partie de la réalité. Ne considérons pas les chiffres comme sacro-saints et rappelons-nous qu'il sont le résultat de choix et de décisions, parfois arbitraires.
Vous connaissez peut-être cette blague qui circule chez les comptables. Une firme veut embaucher un ou une comptable. On demande au premier candidat combien font deux et deux. Il répond: quatre. On fait entrer une deuxième candidate. Même question, même réponse. Puis un troisième candidat est amené. La question lui est posée, il se lève, ferme soigneusement les rideaux et demande à voix basse: Le chef d'entreprise (s'adressant au candidat comptable): - Combien voulez-vous que ça fasse? Il est embauché.
Voici justement un exemple (fictif) tiré de la comptabilité et qui montre combien nous devons être prudents en interprétant des données chiffrées et combien il est pertinent de des rappeler que ce sont souvent des constructions finalement arbitraires. Cet exemple, adapté d'un petit livre classique de Duff (How to lie with Statistics).
Considérez les données financières suivantes concernant deux compagnies. On a:
| Compagnie A | Compagnie B |
| Salaire moyen des employés $22 000 | Salaires moyens $28 065 |
| Salaire moyen et profits de propriétaires: $260 000 | Profits moyens des propriétaires $50 000 |
Pour laquelle de ces deux compagnies préfèreriez-vous travailler ? De laquelle voudriez-vous être le propriétaire ?
En fait, votre réponse importe peu, puisqu'il s'agit dans les deux cas de la même compagnie. Et je précise tout de suite qu'on n'a pas réellement “triché” (au sens usuel du terme) avec les données.
Comment cela est-il possible? C'est en fait fort simple.
Posons que trois personnes sont propriétaires d'une entreprise qui emploie 90 salariés. À la fin de l'année, elles ont payé à ces derniers $1 980 000 en salaires. Les trois propriétaires ont pris chacun un salaire de $110 000. On constate au terme de l'exercice qu'il reste $ 450 000 de profits, somme à partager entre les propriétaires de l'entreprise.
On peut exprimer ceci en disant que le salaire annuel moyen des employés est de: $1 980 000 / 90, soit $22 000; tandis que les revenus des propriétaires s'obtiennent en additionnant, pour chacun son salaire et la part des profits qui lui revient, ce qui donne: $110 000 + ( $450 000/3) = $260 000. Voici notre compagnie A. Elle présente d'excellents chiffres, qu'il pourra être avantageux de présenter en certaines circonstances si vous comptez au nombre des propriétaires.
Mais supposons que les propriétaires veulent plutôt faire ressortir leur profond humanisme et le sens de la justice qui les habite.
Si les chiffres précédents semblent peu souhaitables pour ce faire, on peut alors prendre $300 000 sur les profits et répartir ce montant, en tant que bonus, entre les trois propriétaires. Puis, on calculera la moyenne des salaires en incluant cette fois ceux des trois propriétaires dans le calcul. On a cette fois un salaire moyen de: $1 980 000 + $330 000 + $ 300 000 / 93 = $28 065. Et les profits des propriétaires sont bien de: 150 000 / 3= $50 000 chacun. Voici notre compagnie B.
Cet exemple est extrêmement simplifié, sans doute et il faut savoir que dans la réalité, le premier comptable venu vous le confirmera, on peut faire bien mieux - ou pire -que cela!
Restez critique devant les chiffres qui vous sont soumis et appliquez, lorsque c'est possible, les notions de mathématique même élémentaires que vous possédez déjà. Bien sûr, cela ne suffit pas. Dans bien des cas, il vous faudra aussi avoir recours à d'autres outils. Le plus précieux est sans doute les statistiques et les probabilités. Le sujet est hautement complexe, mais on peut en donner une idée et apprendre à se servir de quelques indispensables outils.
H.G. Wells, le célèbre auteur de tant de romans de science fiction, a prédit dans la première moitié du XXe siècle que la connaissance des statistiques deviendrait un jour aussi nécessaire à l'exercice de la citoyenneté que le fait de savoir lire et écrire. Cette prédiction s'est réalisée et ce moment est venu: les statistiques et les probabilités sont désormais d'indispensables outils citoyens.
Or, nous évaluons fort mal les probabilités. Une consolation, pourtant: les mathématiciens eux-mêmes ont parfois du mal à évaluer certaines probabilités et se tromperont s'ils se fient à leur intuition plutôt que de s'asseoir et de calculer. Voici deux exemples de ce que je veux dire.
Vous avez sans doute autour de vous 23 personnes qui vous sont suffisamment proches pour vous inviter à leur anniversaire. Comment évaluez-vous la probabilité de devoir refuser d'aller au party d'anniversaire d'une de ces 23 personnes parce que vous devez aller au party d'une autre de ces mêmes personnes qui serait née le même jour et fêterait donc son anniversaire la même journée? La plupart des gens pensent que cette probabilité est très faible. Mais voyons cela de plus près.
La première personne peut être née n'importe quel jour de l'année. Il y a donc une chance sur 365 que la deuxième personne soit née ce même jour, soit 364 chances sur 365 qu'elle soit née un autre jour. Poursuivons avec la troisième personne. Il y a maintenant deux chances sur 365 qu'lel soit née le même jour que l'une ou l'autre de deux premières et 364 chances sur 365 qu'elle soit née un autre jour. Poursuivons pour 24 personnes puis effectuons les multiplication: 364/365 X 363/365 … 342/365. Le résultat est: .46, ce qui est la probabilité que deux anniversaires ne coïncideront pas. Il y a donc plus d'une chance sur deux que deux anniversaires tombent le même jour parmi un groupe de 23 personnes. Ce résultat est inattendu pour le gros bon sens, qui a bien du mal à évaluer intuitivement ce genre de probabilités.
Si j'en crois le physicien G. Gamow, qui s'amusait à poser ce petit problème à ses amis mathématiciens, la plupart de ceux qui se fièrent à leur intuition se trompaient. Encore une fois, connaître des outils mathématiques ne sert pas à grand chose si on néglige de s'en servir.
Un autre exemple, encore plus spectaculaire et connu sous le nom de paradoxe des faux positifs.
Nous supposerons une grave maladie mortelle qui affecte une personne sur mille au sein d'une population. Heureusement, des tests existent pour détecter cette maladie. Ces tests sont cependant légèrement imparfaits: ils détectent la maladie lorsqu'elle est présente dans 99% des cas - et donc ne reconnaît pas un malade qui est atteint dans 1% des cas; d'un autre côté, ils ne détectent pas de maladie lorsqu'elle n'est pas présente dans 98% des cas - et déclarent donc malade 2 fois sur cent des gens qui ne sont pas atteints: ce sont eux qu'on appelle des faux positifs.
Le médecin annonce à un patient que son résultat au test est positif. La question est de savoir à quel point cette personne doit s'inquiéter. Ici encore la plupart des gens penseront que le patient peut considérer comme à peu près certain qu'il a la maladie. Et pourtant, le patient n'a qu'une chance sur 23 d'être vraiment malade. Ce qui n'est pas, je l'admets, une excellent nouvelle, mais admettez que c'est moins terrible que notre intuition nous le laissait prévoir. Et que ce paradoxe devrait être connu et médité par ceux ou celles qui préconisent le dépistage obligatoire de certaiens maladies.
Pour ceux que cela intéresse, voici la démonstration de cette étonnante conclusion.
La réponse est donnée par la formule de Bayes:
Pour amorcer notre travail en douceur, laissez-moi d'abord vous présenter deux personnages qui vont nous accompagner tout au long de notre étude des probabilités. Ils ont vécu au 17e siècle, en France. Le premier est un libertin, grand amateur de vin, de femmes et de jeux de hasard: il s'appelle le Chevalier de Méré. Le deuxième est un philosophe et mathématicien fort brillant: Blaise Pascal.
Méré joue souvent aux dés. Il parie, beaucoup et de grosses sommes. Comme il ne veut pas perdre d'argent- il espère même en gagner des tas! - il a attentivement étudié le jeu et pris des notes sur ses parties. Il en a tiré des règles de base qu'il applique scrupuleusement.
D'abord, il vérifie toujours les dés avant de jouer. Joueur méfiant, Méré a remarqué qu'il y a des tricheurs qui utilisent des dés truqués, lestés d'un poids qui fait qu'ils ont tendance à tomber plus souvent sur une de leurs six faces. On devine l'avantage que possède celui qui le sait! Méré ne joue donc qu'avec des dés justes, c'est-à-dire des dés qui tombent par hasard et avec la même chance sur une ou l'autres de leurs six faces.
Quand un tel dé (juste) est lancé, on ne peut évidemment pas savoir sur quelle face il va tomber. Mais Méré a observé que, pour un dé juste, chacune des six faces tend à revenir une fois sur six.
Bien sûr Méré sait qu'il lui arrivera de tirer, par exemple, le chiffre six, deux ou trois ou même quatre fois de suite . Mais il a constaté qu'à long terme le six revenait une fois sur six, comme le un, le deux, le trois, le quatre et le cinq qui revenaient, eux aussi, une fois sur six. Il a tiré de cette observation une règle qu'il trouve très utile. Suivez son raisonnement.
Si je lance un dé, j'ai, on l'a vu, une chance sur six de sortir un six, une chance sur six de sortir un cinq, une chance sur six de sortir un quatre et ainsi de suite. Supposons que ce soit le six qui m'intéresse et supposons aussi que je lance mon dé quatre fois de suite. Eh bien en ce cas, pense Méré, j'ai quatre fois une chance sur six de tirer un six. Ce que cela représente est facile à calculer, même pour un Chevalier avec un coup de vin dans le nez. Cela donne:
J'ai donc, conclut Méré, deux chances sur trois de tirer un six en lançant quatre fois de suite un dé.
Méré joue presque toujours à des jeux qui se jouent avec non pas un seul mais deux dés. Il s'est donc demandé quelle chance il avait de tirer deux six en lançant ces deux dés. Pour le découvrir, il a raisonné comme suit.
Quand je lance deux dés, le premier dé peut être, disons, un un; et le deuxième un un, un deux , un trois, un quatre, un cinq ou un six. Ce qui fait six possibilités avec un un sur le premier dé. Mais ce premier dé peut aussi être un deux et, encore une fois, le deuxième, un un, un deux, un trois, un quatre, un cinq ou un six. On a maintenant douze possibilités. Mais le premier dé peut aussi être un trois, pendant que le deuxième dé … . Et ainsi de suite. Au total, vérifiez, on arrive à 36 possibilités.
Une seule de ces 36 possibilités intéresse le Chevalier: c'est celle où le premier dé est un six pendant que le deuxième est aussi un six. Cette possibilité-là n'est qu'une des 36. Quelle est ma chance de sortir un double six avec deux dés lancés une fois ? Réponse: une sur 36. Mais supposons maintenant que je lance mes deux dés 24 fois. Méré raisonne comme tout à l'heure et conclut avoir 24 fois une chance sur 36 de sortir le double six.
Ce que cela veut dire, conclut notre Chevalier, c'est qu'on a très exactement la même chance (2/3) de sortir un six en lançant quatre fois un dé que de sortir un double six en lançant 24 fois deux dés. Le Chevalier est bien fier de lui, le raisonnement lui semble impeccable.
Mais, mais, mais … parbleu de morbleu de ventrebleu … quand il parie en se fiant à son superbe raisonnement, les dés, ces traîtres, refusent de se comporter comme le raisonnement le prédit: notre Chevalier perd plus souvent avec les deux dés qu'avec un seul. Cela le met hors de lui. Il perd de l'argent. Le problème l'obsède, il n'en dort plus.
Incapable de s'en sortir, Méré se décide à aller consulter son ami Blaise (Pascal). Mais ça le gêne un peu. Il faut dire que Blaise est un drôle de moineau et qu'il lui fera peut-être un interminable sermon sur l'Évangile avant de lui répondre.
Pascal voit tout de suite que le raisonnement de son ami ne vaut pas un clou. C'est de sa réflexion sur ce problème - et sur un autre - et de la correspondance avec un certain Fermat qui s'ensuivit, qu'est née la théorie des probabilités.
Voici ce qui pourrait bien s'être dit entre Méré et Pascal lorsque les deux se sont rencontrés.
Méré avait dessiné ceci:
Voici encore quelque chose d'élémentaire mais de bien utile à savoir lorsque l'on nous présente des données se rapportant à de grands ensembles. Pour caractériser une population, on utilise souvent la moyenne. Or celle-ci n'est qu'une des mesures de tendance centrale à notre disposition: il arrive qu'on en utilise d'autres, parfois avec raison puisque la moyenne peut être trompeuse. Savoir distinguer moyenne, mode, médiane est ainsi nécessaire. Pour le faire comprendre, voici un petit exemple simple adapté de Martin Gardner.
La compagnie ZZZ fabrique des Schpountz. On y retrouve, à la direction: un patron, son frère et six parents; le personnel compte cinq contremaîtres et dix ouvriers. Les affaires vont bien et la direction doit embaucher un nouvel employé. Paul est candidat au poste. Le patron de ZZZ lui explique que le salaire moyen dans la compagnie est de 6 000$ par mois. Il ajoute qu'au début, durant la période d'essai, Paul touchera 1 500$ par mois. Puis, son salaire augmentera vite.
Paul est embauché. Mais après quelques jours, en colère, il demande à voir le patron.
Au total, ZZZ paie $ 138 000 par mois en salaires, ceci à 23 personnes. Le salaire moyen est donc de:
“Vous voyez, conclut le patron,: je ne vous ai pas menti”.
Mais Paul a fait des statistiques à l'école. Il peut donc expliquer:
“La moyenne que vous utilisez est une mesure de tendance centrale. Il y en a d'autres. Vous auriez été plus honnête en me disant la médiane: pour cela, on dresse la liste de salaires de l'entreprise en valeur décroissante et celle juste au milieu est la médiane. Dans le cas de ZZZ, le salaire médian est de 4 000$: cela m'aurait été une indication plus précieuse. Mais c'est le mode qu'il aurait fallu me donner si vous aviez voulu être honnête. Le mode, dans une collection, c'est le nombre qui revient le plus souvent. Chez ZZZ, le salaire modal est de 2 000$ par mois. C'est ce que vous auriez dû me dire. Il faut faire attention quand on utilise des mesures de tendance centrale. Tenez, patron: en cherchant un peu, j'ai appris que ZZZ est la propriété de 50 actionnaires détenant ensemble 600 votes. On pourrait dire que la moyenne est de 12 votes par personne, même si dans les faits 45 actionnaires ont 4 votes chacun et les 5 autres 84 chacun. À 5, vous contrôliez donc l'entreprise. Ce n'est plus le cas: on a racheté les actions des 4 autres et on te fout à la porte”.
Conclusion pratique. Toujours se demander quelle mesure est utilisée quand on nous parle de moyenne.
Penser correctement sur des grands ensembles nous fournit un des plus puissants outils de pensée critique qui soit en nous invitant à reconnaître que dans certains cas il n'y a pas lieu de chercher à expliquer quelque chose qui nous semble d'abord étonnant ou incroyable puisque le seul jeu du hasard produit de lui-même le phénomène à expliquer: il n'est donc pas besoin de faire intervenir quoi que ce soit d'autre.
Voici un premier exemple, fictif.
On a trouvé, à la suite d'une enquête, que la plupart des médiums célèbres sont des fils aînés. Les partisans de la parapsychologie sont très émus de cette donnée et ils avancent les hypothèses les plus audacieuses pour l'expliquer. Ont-ils raison de s'émouvoir? L'application de notre petite règle nous montre que non.
Dans une population donnée, surtout lorsque le nombre d'enfant est peu élevé (2, 3 ,4) il y a toujours plus de fils aînés. Et donc la plupart des ce-que-vous-voulez sont des fils aînés. Supposons une population de 100 familles de deux enfants chacune. On aura, à proportion égale, les compositions (F veut dire Fille et G Garçon):
Dans trois cas sur quatre, un fils est un fils aîné. Vérifiez qu'il en va de même pour des familles de 3 enfants: les fils (mais aussi les filles) aînés sont en majorité. Bref : il n'y a pas ici de mystère à éclaircir et pour parler comme Marcel Duchamp, il n'y a pas de solution puisqu'il n'y a pas de problème!
Un autre exemple? M. Paul est tout excité. Il pensait à une connaissance, Madame Y, quand, dans les cinq minute squi suivent, le téléphone sonnait: son correspondant l'informait du décès de Madame Y. Avouez qu'il y a de quoi croire aux prémonitions!
On entend souvent des raisonnements de ce type, en particulier en faveur du paranormal. Ici encore notre outil sera très efficace puisqu'il nous montrera qu'il n'y a pas de mystère à expliquer.
Supposons, ce qui est très modeste, que M. Paul connaisse 1000 personnes (connaisse au sens très large où il connaît par exemple Jean-Paul II) dont il apprendra le décès durant les 30 prochaines années. Supposons aussi, ce qui est très, très modeste, que M. Paul ne songe à chacune de ces 100 personnes qu'une fois en 30 ans. La question est de savoir quelle est la probabilité qu'il pense à un de ces personnes et que, dans les cinq minutes qui suivent, il apprenne son décès. Le calcul des probabilités permet de déterminer cette probabilité compte tenu de ces conventions. Cette probabilité est faible: un peu plus de trois chances sur 10 000. Mais M. Paul habite un pays de 50 millions d'habitants. Pour cette population, il y aura 16 000 “mystérieuses prémonitions” en 30 ans. Ce qui fait tout de même 530 cas par an: plus d'une par jour. Bref, comme l'écrit Henmri Broch à qui j'emprunte cet exemple: “Le simple hasard permet ainsi amplement d'écrire sur les ‘fantastiques prémonitions parapsychiques en France’ de nombreux ouvrages qui se vendront très bien”.
Que retenir de tout cela? Outre le fait que rien en remplace un cours de statistiques et de probabilités élémentaires, on peut conclure qu'il est sage de rester vigilent devant les données chiffrées qu'on nous présente. Quelques règles simples devraient en ce sens être constamment respectées.